مقالات

12.6: المشتقات الاتجاهية - الرياضيات


تعطينا المشتقات الجزئية فهمًا لكيفية تغير السطح عندما نتحرك في اتجاهي (س ) و (ص ). لقد أجرينا المقارنة بين الوقوف في مرج متدحرج والاتجاه شرقا: مقدار الارتفاع / الانخفاض في القيام بذلك يمكن مقارنته بـ (f_x ). وبالمثل ، فإن الارتفاع / الانخفاض في التحرك باتجاه الشمال يمكن مقارنته بـ (f_y ). كلما كان المنحدر أكثر انحدارًا ، زاد الحجم (f_y ). لكن ماذا لو لم نتحرك باتجاه الشمال أو الشرق؟ ماذا لو احتجنا إلى التحرك باتجاه الشمال الشرقي وأردنا قياس مقدار الارتفاع / الانخفاض؟ المشتقات الجزئية وحدها لا تستطيع قياس هذا. هذا القسم يبحث المشتقات الاتجاهية، والتي تقيس معدل التغيير هذا. نبدأ مع تعريف.

التعريف 90 مشتقات اتجاهية

دع (z = f (x، y) ) مستمرًا على مجموعة مفتوحة (S ) واجعل ( vec u = langle u_1، u_2 rangle ) متجه وحدة. لجميع النقاط ((س ، ص) ) ، فإن مشتق اتجاهي (F) في ((س ، ص) ) في اتجاه ( vec u ) هو

[D _ { vec u ،} f (x، y) = lim limits_ {h to 0} frac {f (x + hu_1، y + hu_2) - f (x، y)} h. ]

يتم تعريف المشتقات الجزئية (f_x ) و (f_y ) بحدود متشابهة ، لكن فقط (x ) أو (y ) يختلفان مع (h ) ، وليس كليهما. هنا يختلف كل من (x ) و (y ) مع (ح ) مرجح ، يتم تحديده بواسطة ناقل وحدة معين ( vec u ). قد يبدو هذا مخيفًا بعض الشيء ولكن في الواقع ليس من الصعب جدًا التعامل معه ؛ غالبًا ما يتطلب فقط جبرًا إضافيًا. ومع ذلك ، فإن النظرية التالية تقلل من هذا الحمل الجبري.

نظرية 110 مشتقات الاتجاه

دع (z = f (x، y) ) قابلة للتفاضل في مجموعة مفتوحة (S ) تحتوي على ((x_0، y_0) ) ، ودع ( vec u = langle u_1، u_2 rangle ) يكون متجه وحدة. المشتق الاتجاهي لـ (f ) في ((x_0، y_0) ) في اتجاه ( vec u ) هو

[D _ { vec u ،} f (x_0، y_0) = f_x (x_0، y_0) u_1 + f_y (x_0، y_0) u_2. ]

مثال ( PageIndex {1} ): حساب المشتقات الاتجاهية

دع (z = 14-x ^ 2-y ^ 2 ) ودع (P = (1،2) ). أوجد المشتق الاتجاهي لـ (f ) في (P ) في الاتجاهات التالية:

  1. نحو النقطة (Q = (3،4) ) ،
  2. في اتجاه ( langle 2 ، -1 rangle ) ، و
  3. تجاه الأصل.

حل

تم رسم السطح في الشكل 12.16 ، حيث يشار إلى النقطة (P = (1،2) ) في (x ، y ) - المستوى وكذلك النقطة ((1،2،9) ) التي تقع على سطح (و ). نجد أن (f_x (x، y) = -2x ) و (f_x (1،2) = -2 )؛ (f_y (x، y) = -2y ) و (f_y (1،2) = -4 ).

  1. دع ( vec u_1 ) هو متجه الوحدة الذي يشير من النقطة ((1،2) ) إلى النقطة (Q = (3،4) ) ، كما هو موضح في الشكل. المتجه ( vec {PQ} = langle 2،2 rangle ) ؛ متجه الوحدة في هذا الاتجاه هو ( vec u_1 = langle 1 / sqrt {2} ، 1 / ​​ sqrt {2} rangle ). وبالتالي فإن المشتق الاتجاهي لـ (f ) في ((1،2) ) في اتجاه ( vec u_1 ) هو [D _ { vec u_1} f (1،2) = -2 ( 1 / sqrt {2}) + (- 4) (1 / sqrt {2}) = -6 / sqrt {2} حوالي -4.24. ] وبالتالي معدل التغيير اللحظي في الانتقال من النقطة ((1،2،9) ) على السطح في اتجاه ( vec u_1 ) (التي تشير نحو النقطة (Q )) حوالي (- 4.24 ). يتحرك المرء في هذا الاتجاه بشدة نحو الأسفل.
  2. نبحث عن المشتق الاتجاهي في اتجاه ( langle 2، -1 rangle ). متجه الوحدة في هذا الاتجاه هو ( vec u_2 = langle 2 / sqrt {5}، - 1 / sqrt {5} rangle ). وبالتالي فإن المشتق الاتجاهي لـ (f ) في ((1،2) ) في اتجاه ( vec u_2 ) هو [D _ { vec u_2} f (1،2) = -2 ( 2 / sqrt {5}) + (- 4) (- 1 / sqrt {5}) = 0. ] بدءًا من سطح (f ) عند ((1،2) ) والتحرك في اتجاه ( langle 2 ، -1 rangle ) (أو ( vec u_2 )) لا ينتج عنه تغيير فوري في (z ) - القيمة. هذا مشابه للوقوف على جانب تل واختيار اتجاه للمشي لا يغير الارتفاع. لا يمشي المرء لأعلى أو لأسفل ، بل فقط "على طول جانب" التل.

    من المهم العثور على اتجاهات "عدم حدوث تغيير في الارتفاع".

  3. في (P = (1،2) ) ، يتم إعطاء الاتجاه نحو الأصل بواسطة المتجه ( langle -1 ، -2 rangle ) ؛ متجه الوحدة في هذا الاتجاه هو ( vec u_3 = langle -1 / sqrt {5}، - 2 / sqrt {5} rangle ). المشتق الاتجاهي لـ (f ) عند (P ) في اتجاه الأصل هو [D _ { vec u_3} f (1،2) = -2 (-1 / sqrt {5}) + (-4) (- 2 / sqrt {5}) = 10 / sqrt {5} حوالي 4.47. ] يعني التحرك نحو الأصل "المشي صعودًا" بشكل حاد للغاية ، مع ميل أولي يبلغ حوالي (4.47) ).

أثناء دراستنا للمشتقات الاتجاهية ، سيساعدنا في إجراء اتصال مهم بين متجه الوحدة ( vec u = langle u_1 ، u_2 rangle ) الذي يصف الاتجاه والمشتقات الجزئية (f_x ) و (f_y ). نبدأ بتعريف ونتبعه بفكرة أساسية.

تعريف 91 ميل

دع (z = f (x، y) ) قابلة للتفاضل في مجموعة مفتوحة (S ) تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ).

  1. ال التدرج من (f ) هو ( nabla f (x، y) = langle f_x (x، y)، f_y (x، y) rangle ).
  2. ال التدرج من (F) في ((x_0، y_0) ) هو ( nabla f (x_0، y_0) = langle f_x (x_0، y_0)، f_y (x_0، y_0) rangle ).

ملحوظة: الرمز " ( nabla )" يسمى "nabla" ، مشتق من الاسم اليوناني لقيثارة يهودية. من الغريب أن التعبير ( nabla f ) في الرياضيات يُنطق "del (f )."

لتبسيط التدوين ، غالبًا ما نعبر عن التدرج اللوني ( nabla f = langle f_x، f_y rangle ). يسمح لنا التدرج بحساب المشتقات الاتجاهية من حيث حاصل الضرب النقطي.

الفكرة الرئيسية 55 مشتقات التدرج والاتجاه

المشتق الاتجاهي لـ (z = f (x، y) ) في اتجاه ( vec u ) هو [D _ { vec u} f = nabla f cdot vec u. ]

تسمح لنا خصائص المنتج النقطي الذي تمت دراسته مسبقًا بالتحقيق في خصائص المشتق الاتجاهي. بالنظر إلى أن المشتق الاتجاهي يعطي معدل التغيير اللحظي (z ) عند التحرك في اتجاه ( vec u ) ، تظهر ثلاثة أسئلة بشكل طبيعي:

  1. في أي اتجاه (اتجاهات) يكون التغيير في (ض ) هو الأعظم (أي "أشد ارتفاعًا")؟
  2. في أي اتجاه (اتجاهات) يكون التغيير في (ض ) هو الأقل (أي "أشد انحدارًا")؟
  3. في أي اتجاه (اتجاهات) لا يوجد تغيير في (ض )؟

باستخدام الخاصية الرئيسية للمنتج النقطي ، لدينا
[ nabla f cdot vec u = norm { nabla f} ، norm u cos theta = norm { nabla f} cos theta، label {eq: gradient} ]
حيث ( theta ) هي الزاوية بين التدرج و ( vec u ). (بما أن ( vec u ) متجه وحدة ، ( معيار {u} = 1 ).) تسمح لنا هذه المعادلة بالإجابة على الأسئلة الثلاثة المذكورة سابقًا.

  1. يتم تكبير المعادلة المرجع {eq: gradient} عند ( cos theta = 1 ) ، أي عندما يكون للتدرج و ( vec u ) نفس الاتجاه. نستنتج نقاط التدرج في اتجاه أكبر تغيير.
  2. يتم تصغير المعادلة المرجع {eq: gradient} عندما ( cos theta = -1 ) ، أي عندما يكون للتدرج و ( vec u ) اتجاهات متعاكسة. نستنتج نقاط التدرج في الاتجاه المعاكس لأقل تغيير (ض ).
  3. المعادلة المرجع {eq: gradient} هي 0 عندما ( cos theta = 0 ) ، أي عندما يكون التدرج و ( vec u ) متعامدين مع بعضهما البعض. نستنتج أن التدرج متعامد لاتجاهات لا تغيير.

هذه النتيجة مدهشة إلى حد ما. تخيل مرة أخرى أنك تقف في مرج متدحرج وتواجه الاتجاه الذي يقودك إلى أقصى درجات الانحدار. ثم يكون الاتجاه الذي يؤدي إلى أقصى درجات الانحدار خلفك مباشرةً ، والجانب - لا يغير التحرك إما يسارًا أو يمينًا (أي التحرك عموديًا في الاتجاه الذي تواجهه) من ارتفاعك على الإطلاق.

تذكر أن منحنى المستوى يتم تعريفه بواسطة مسار في (xy ) - المستوى الذي لا تتغير فيه قيم (z ) - للدالة ؛ المشتق الاتجاهي في اتجاه منحنى المستوى هو 0. وهذا مشابه للسير على طول مسار في المرج المتدحرج الذي لا يتغير الارتفاع على طوله. يكون التدرج اللوني عند نقطة متعامدًا مع الاتجاه الذي لا يتغير فيه (ض ) ؛ أي أن التدرج متعامد مع منحنيات المستوى.

تذكر أن منحنى المستوى يتم تعريفه على أنه منحنى في (xy ) - المستوى الذي لا تتغير فيه قيم (z ) - للدالة. دع السطح (z = f (x، y) ) يُعطى ، ودعنا نمثل أحد منحنى المستوى كدالة متجهية ذات قيمة ، ( vec r (t) = langle x (t) ، y (ر) rangle ). نظرًا لأن ناتج (f ) لا يتغير على طول هذا المنحنى ، (f big (x (t) ، y (t) big) = c ) للجميع (t ) ، لبعض الثابت (ج).

بما أن (f ) ثابت للجميع (t ) ، ( frac {df} {dt} = 0 ). من خلال قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات ، نعلم أيضًا
[ ابدأ {محاذاة *}
frac {df} {dt} & = f_x (x، y) x '(t) + f_y (x، y) y' (t)
& = langle f_x (x، y)، f_y (x، y) rangle cdot langle x '(t)، y' (t) rangle
& = nabla f cdot vec r '(t)
&=0.
نهاية {محاذاة *} ]

تنص هذه المساواة الأخيرة على ( nabla f cdot vec r '(t) = 0 ): التدرج متعامد مع مشتق ( vec r ) ، مما يعني أن التدرج متعامد مع ( vec r ) بحد ذاتها. استنتاجنا: في أي نقطة على سطح ما ، يكون التدرج عند هذه النقطة متعامدًا مع منحنى المستوى الذي يمر عبر تلك النقطة.

نعيد صياغة هذه الأفكار في نظرية ، ثم نستخدمها في مثال.

نظرية 111 مشتقات التدرج والاتجاه

دع (z = f (x، y) ) قابل للتفاضل في مجموعة مفتوحة (S ) مع التدرج ( nabla f ) ، دع (P = (x_0 ، y_0) ) يكون نقطة في (S ) وليكن ( vec u ) متجه وحدة.

  1. القيمة القصوى لـ (D _ { vec u ،} f (x_0، y_0) ) هي ( norm { nabla f (x_0، y_0)} ) ؛ اتجاه الزيادة القصوى هو ( nabla f (x_0، y_0) ).
  2. الحد الأدنى لقيمة (D _ { vec u ،} f (x_0، y_0) ) هو (- norm { nabla f (x_0، y_0)} ) ؛ اتجاه الحد الأدنى للزيادة هو (- nabla f (x_0، y_0) ).
  3. عند (P ) ، ( nabla f (x_0، y_0) ) متعامد مع منحنى المستوى الذي يمر عبر ( big (x_0، y_0، f (x_0، y_0) big) ).

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد اتجاهات الزيادة القصوى والدنيا

دع (f (x، y) = sin x cos y ) ودع (P = ( pi / 3، pi / 3) ). ابحث عن اتجاهات الزيادة القصوى / الصغرى ، وابحث عن اتجاه يكون فيه المعدل اللحظي للتغير (z ) هو 0.

حل

نبدأ بإيجاد الانحدار. (f_x = cos x cos y ) و (f_y = - sin x sin y ) ، وبالتالي

[ nabla f = langle cos x cos y، - sin x sin y rangle quad text {and، at (P )،} quad nabla f left ( frac { pi} 3، frac { pi} 3 right) = langle frac14، - frac34 rangle. ]

وبالتالي فإن اتجاه الزيادة القصوى هو ( langle 1/4، -3/4 rangle ). في هذا الاتجاه ، المعدل اللحظي للتغير (z ) هو (|| langle 1/4، -3 / 4 rangle || = sqrt {10} / 4 حوالي 0.79. )

يوضح الشكل 12.17 السطح المرسوم من منظورين مختلفين. في كل منها ، يتم رسم التدرج اللوني عند (P ) بخط متقطع (بسبب طبيعة هذا السطح ، تشير نقاط التدرج "إلى" "السطح). دعنا ( vec u = langle u_1، u_2 rangle ) هو متجه الوحدة في اتجاه ( nabla f ) في (P ). يحتوي كل رسم بياني للشكل أيضًا على المتجه ( langle u_1، u_2، || nabla f ، | | rangle ). يحتوي هذا المتجه على "تشغيل" من 1 (لأنه في المستوى (xy ) - يتحرك وحدة واحدة) و "ارتفاع" (|| nabla f ، || ) ، ومن ثم يمكننا اعتباره متجهًا بميل (|| nabla f ، || ) في اتجاه ( nabla f ) ، مما يساعدنا على تصور مدى انحدار السطح في أقصى اتجاه لها.

اتجاه الحد الأدنى للزيادة هو ( langle -1 / 4،3 / 4 rangle ) ؛ في هذا الاتجاه ، يكون المعدل الفوري للتغير (z ) هو (- sqrt {10} / 4 حوالي -0.79 ).

أي اتجاه متعامد لـ ( nabla f ) هو اتجاه لا (ض ) تغيير. لدينا خياران: اتجاه ( langle 3،1 rangle ) واتجاه ( langle -3 ، -1 rangle ). يظهر متجه الوحدة في اتجاه ( langle 3،1 rangle ) في كل رسم بياني بالشكل أيضًا. يتم رسم منحنى المستوى عند (z = sqrt {3} / 4 ): تذكر أنه على طول هذا المنحنى لا تتغير قيم (z ) -. نظرًا لأن ( langle 3،1 rangle ) هو اتجاه لا (z ) - تغيير ، فإن هذا المتجه يكون مماسًا لمنحنى المستوى عند (P ).

مثال ( PageIndex {3} ): فهم متى ( nabla f = vec 0 )

دع (f (x، y) = -x ^ 2 + 2x-y ^ 2 + 2y + 1 ). أوجد المشتق الاتجاهي لـ (f ) في أي اتجاه عند (P = (1،1) ).

حل

نجد ( nabla f = langle -2x + 2، -2y + 2 rangle ). في (P ) ، لدينا ( nabla f (1،1) = langle 0،0 rangle ).

وفقًا لنظرية 111 ، هذا هو اتجاه الزيادة القصوى. ومع ذلك ، ( langle 0،0 rangle ) بلا اتجاه ؛ ليس لديها إزاحة. وبغض النظر عن متجه الوحدة ( vec u ) المختار ، (D _ { vec u ،} f = 0 ).

يساعدنا الشكل 12.18 على فهم معنى ذلك. يمكننا أن نرى أن (P ) يقع في الجزء العلوي من مكافئ. في جميع الاتجاهات ، يكون معدل التغيير اللحظي 0.

إذن ما هو اتجاه الزيادة القصوى؟ من الجيد إعطاء إجابة عن ( vec 0 = langle 0،0 rangle ) ، حيث يشير هذا إلى أن جميع مشتقات الاتجاه هي 0.

إن حقيقة أن التدرج اللوني للسطح يشير دائمًا إلى اتجاه الزيادة / النقصان الشديدة يعد أمرًا مفيدًا للغاية ، كما هو موضح في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {4} ): تدفق المياه إلى أسفل

ضع في اعتبارك السطح المعطى بواسطة (f (x، y) = 20-x ^ 2-2y ^ 2 ). يُسكب الماء على السطح عند ((1،1 / 4) ). ما المسار الذي تسلكه عندما تتدفق إلى أسفل؟

حل

لنفترض أن ( vec r (t) = langle x (t) ، y (t) rangle ) هي الدالة ذات القيمة المتجهية التي تصف مسار الماء في (xy ) - الطائرة ؛ نسعى (x (t) ) و (y (t) ). نحن نعلم أن المياه ستتدفق دائمًا إلى أسفل المنحدرات في الاتجاه الأكثر انحدارًا ؛ لذلك ، في أي نقطة على مسارها ، سوف تتحرك في اتجاه (- nabla f ). (نتجاهل التأثيرات الفيزيائية للزخم على الماء.) وبالتالي ( vec r '(t) ) ستكون موازية لـ ( nabla f ) ، وهناك بعض الثوابت (c ) مثل (c nabla f = vec r '(t) = langle x' (t)، y '(t) rangle ).

نجد ( nabla f = langle -2x، -4y rangle ) ونكتب (x '(t) ) كـ ( frac {dx} {dt} ) و (y' (t ) ) كـ ( frac {dy} {dt} ). ثم

[ ابدأ {محاذاة *}
ج nabla f & = langle x '(t)، y' (t) rangle
langle -2cx، -4cy rangle & = langle frac {dx} {dt} ، frac {dy} {dt} rangle.
نهاية {محاذاة *} ]

هذا يعني

[- 2cx = frac {dx} {dt} quad text {and} quad -4cy = frac {dy} {dt}، text {ie.،} ]

[c = - frac {1} {2x} frac {dx} {dt} quad text {and} quad c = - frac {1} {4y} frac {dy} {dt}. ]

بما أن (c ) يساوي كلا التعبيرين ، لدينا

[ frac {1} {2x} frac {dx} {dt} = frac {1} {4y} frac {dy} {dt}. ]

لإيجاد علاقة صريحة بين (س ) و (ص ) ، يمكننا دمج كلا الجانبين بالنسبة إلى (تي ). تذكر من دراستنا للتفاضلات أن ( frac {dx} {dt} dt = dx ). هكذا:

[ ابدأ {محاذاة *}
int frac {1} {2x} frac {dx} {dt} dt & = int frac {1} {4y} frac {dy} {dt} dt
int frac {1} {2x} dx & = int frac {1} {4y} dy
frac 12 ln | x | & = frac14 ln | y | + C_1
2 ln | x | & = ln | y | + C_1
ln | x ^ 2 | & = ln | y | + C_1 end {محاذاة *} ]

الآن ارفع كلا الجانبين كقوة لـ (e ):

[ ابدأ {محاذاة *}
x ^ 2 & = e ^ { ln | y | + C_1}
x ^ 2 & = e ^ { ln | y |} e ^ {C_1} qquad text {(لاحظ أن (e ^ {C_1} ) مجرد ثابت.)}
س ^ 2 & = yC_2
frac1 {C_2} x ^ 2 & = y qquad text {(لاحظ أن (1 / C_2 ) مجرد ثابت.)}
Cx ^ 2 & = y.
نهاية {محاذاة *} ]

عندما بدأ الماء عند النقطة ((1،1 / 4) ) ، يمكننا إيجاد (C ):
[C (1) ^ 2 = frac14 quad Rightarrow quad C = frac14. ]

وهكذا فإن الماء يتبع المنحنى (y = x ^ 2/4 ) في (xy ) - المستوى. تم رسم سطح ومسار المياه في الشكل 12.19 (أ). في الجزء (ب) من الشكل ، يتم رسم منحنيات مستوى السطح في المستوى (xy ) - جنبًا إلى جنب مع المنحنى (y = x ^ 2/4 ). لاحظ كيف يتقاطع المسار مع منحنيات المستوى بزوايا قائمة. نظرًا لأن المسار يتبع التدرج اللوني إلى أسفل المنحدر ، فإن هذا يعزز حقيقة أن التدرج اللوني متعامد مع منحنيات المستوى.

وظائف ثلاثة متغيرات

يتم توسيع مفاهيم مشتقات الاتجاه والتدرج بسهولة إلى ثلاثة (وأكثر) متغيرات. نقوم بدمج المفاهيم الكامنة وراء التعاريف 90 و 91 والنظرية 110 في مجموعة واحدة من التعريفات.

تعريف 92 مشتقات الاتجاه والتدرج مع ثلاثة متغيرات

لنفترض أن (w = F (x، y، z) ) قابل للتفاضل على كرة مفتوحة (B ) وليكن ( vec u ) ناقل وحدة في ( mathbb {R} ^ 3 ).

  1. ال الانحدار من (F ) هو ( nabla F = langle F_x ، F_y ، F_z rangle ).
  2. ال مشتق اتجاهي (F) في اتجاه ( vec u ) هو [D _ { vec u ،} F = nabla F cdot vec u. ]

نفس خصائص التدرج المعطى في نظرية 111 ، عندما يكون (f ) دالة لمتغيرين ، اضغط على (F ) ، دالة من ثلاثة متغيرات.

نظرية 112 مشتقات التدرج والاتجاه مع ثلاثة متغيرات

دع (w = F (x، y، z) ) قابل للتفاضل على كرة مفتوحة (B ) ، دع ( nabla F ) يكون تدرج (F ) ، ودع () vec u ) متجه وحدة.

  1. الحد الأقصى لقيمة (D _ { vec u ،} F ) هو ( معيار { nabla F} ) ، تم الحصول عليها عند الزاوية بين ( nabla F ) و ( vec u ) هو 0 ، أي اتجاه الزيادة القصوى هو ( nabla F ).
  2. الحد الأدنى لقيمة (D _ { vec u ،} F ) هو (- معيار { nabla F} ) ، تم الحصول عليها عند الزاوية بين ( nabla F ) و ( vec u ) هو ( pi ) ، أي أن اتجاه الحد الأدنى للزيادة هو (- nabla F ).
  3. (D _ { vec u ،} F = 0 ) عندما يكون ( nabla F ) و ( vec u ) متعامدين.

نفسر العبارة الثالثة للنظرية على أنها "التدرج متعامد مع الأسطح المستوية" ، وهو التناظرية ثلاثية المتغيرات لمنحنيات المستوى.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد مشتقات اتجاهية بوظائف ذات ثلاثة متغيرات

إذا كان مصدر النقطة (S ) يشع طاقة ، فإن الشدة (I ) عند نقطة معينة (P ) في الفضاء تتناسب عكسياً مع مربع المسافة بين (S ) و (P ). أي عندما (S = (0،0،0) )، (I (x، y، z) = frac {k} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ) من أجل بعض ثابت (ك ).

لنكن (k = 1 ) ، دع ( vec u = langle 2/3 ، 2/3 ، 1/3 rangle ) متجه وحدة ، ودع (P = (2،5،3) ). ) قياس المسافات بالبوصة. ابحث عن المشتق الاتجاهي لـ (I ) في (P ) في اتجاه ( vec u ) ، وابحث عن اتجاه زيادة الشدة الأكبر عند (P ).

حل
نحتاج إلى التدرج ( nabla I ) ، بمعنى أننا نحتاج (I_x ) ، (I_y ) و (I_z ). يتطلب كل مشتق جزئي تطبيقًا بسيطًا لقاعدة الحاصل ، معطيًا

[ ابدأ {محاذاة *}
nabla I & = langle frac {-2x} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2} ، frac {-2y} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) ^ 2} ، frac {-2z} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2} rangle
nabla I (2،5،3) & = langle frac {-4} {1444} ، frac {-10} {1444} ، frac {-6} {1444} rangle almost langle - 0.003 ، -0.007 ، -0.004 rangle
D _ { vec u ،} I & = nabla I (2،5،3) cdot vec u
& = - frac {17} {2166} تقريبًا -0.0078.
نهاية {محاذاة *} ]

يخبرنا المشتق الاتجاهي أن التحرك في اتجاه ( vec u ) من (P ) ينتج عنه انخفاض في شدة (- 0.008 ) وحدة لكل بوصة. (تتناقص الكثافة حيث يتحرك ( vec u ) بعيدًا عن الأصل من (P ).)

يعطي التدرج اتجاه زيادة الشدة الأكبر. لاحظ أن

[ ابدأ {محاذاة *}
nabla I (2،5،3) & = langle frac {-4} {1444} ، frac {-10} {1444} ، frac {-6} {1444} rangle
& = frac {2} {1444} langle -2، -5، -3 rangle.
نهاية {محاذاة *} ]

أي أن التدرج اللوني عند ((2،5،3) ) يشير إلى اتجاه ( langle -2 ، -5 ، -3 rangle ) ، أي باتجاه الأصل. يجب أن يكون ذلك منطقيًا: تم العثور على أكبر زيادة في الشدة من خلال الانتقال إلى مصدر الطاقة.

يسمح لنا المشتق الاتجاهي بإيجاد المعدل الفوري للتغير (z ) في أي اتجاه عند نقطة ما. يمكننا استخدام معدلات التغيير اللحظية هذه لتحديد الخطوط والمستويات الموجودة ظل إلى سطح في نقطة ما ، وهو موضوع القسم التالي.


12.6: المشتقات الاتجاهية - الرياضيات

أمثلة للقسم 13.6

إذا كانت إجابتك على السؤال المطروح في نهاية القسم 13.3 # 40 مثال متعلق بمشتق الاتجاه ، أو إذا لم تكن قد سمعت بعد عن المشتقات الاتجاهية ولكن إجابتك مرتبطة بطريقة ما بمشتق كمعدل تغيير نسبي للتغيير على طول الخط y = (4/3) x أو تغيير متعلق بالتغير في اتجاه المتجه ، قل & lt3،4 & gt ، ثم عرض جيد. ها هي صورة DPGraph مرة أخرى التي يتعلق بها السؤال. صورة القيقب

فيما يلي بعض الملاحظات حول مشتق الاتجاه والمزيد من الأمثلة التي تتضمن التدرج اللوني والمشتق الاتجاهي.

تعظيم المشتق الاتجاهي

DPGraph صورة للسطح والنقطة والمستوى الذي يحتوي على النقطة والخط في مستوى الإحداثيات xy مع متجه الاتجاه ش حيث تكون مكونات x و y من ش تساوي مكونات x و y لمتجه الاتجاه لمشتق الاتجاه. انظر إلى التحليل أدناه لمزيد من التفاصيل.

أوجد القيمة القصوى للمشتق الاتجاهي للدالة المعينة عند النقطة المشار إليها.

T (x، y) = 100 - x 2 - 2y 2 نقطة البداية (2،4)

دع المسار يوصف بواسطة ص (ر) = & lt x (t)، y (t) & gt

ثم ص '(ر) = & lt dx / dt، dy / dt & gt يعطي اتجاه الحركة.

نظرًا لأن هذا جسيم يبحث عن الحرارة ، يجب أن يتحرك في جميع الأوقات في اتجاه أقصى زيادة في درجة الحرارة. يجب أن يكون هذا هو اتجاه التدرج اللوني لدالة درجة الحرارة T (x ، y).

انقر هنا لمشاهدة ورقة عمل Maple في هذا المثال.

بشكل عام يجب أن يكون الأمر كذلك غراد ت = ك ص '(ر) حيث k ثابت بعض الشيء. لنفترض تحديد معلمات المسار بحيث يكون k = 1 بحيث غراد ت = ص '(ر). لاحظ أننا لا ندعي ذلك ص '(ر) يعطي سرعة الجسيم الساعي للحرارة ، إلا أنه يعطي الاتجاه.

من عند غراد ت = ص '(ر) نحن نساوي مكونات المتجه لنحصل على dx / dt = -2x و dy / dt = -4y. لنفترض أن 0 هي قيمة t عند نقطة البداية بحيث x (0) = 2 و y (0) = 4. وبالتالي لدينا معادلتان تفاضليتان يجب حلهما.

| x | = e -2t + c = e -2t e c = c1ه -2t

س = 2e -2t منذ x (0) = 2 ينتج ج2 = 2

بطريقة مماثلة سنجد ذلك من

dy / dt = -4y و y (0) = 4 نحصل عليها

وهكذا يتم إعطاء المسار من قبل ص (ر) = & lt 2e -2t، 4e -4t & GT.

بما أن y = (2e -2t) 2 ، نرى أن المسار يُعطى أيضًا بواسطة y = x 2.

مشكلة مماثلة يتضمن العثور على المسار الذي يتبعه جسم يبحث عن الحرارة في الفضاء حيث يتم تحديد توزيع درجة الحرارة

T (x، y، z) = 100 - 3x - y - z 2 ونقطة البداية هي (2،2،5).

دع المسار يوصف بواسطة ص (ر) = & lt x (t)، y (t)، z (t) & gt

ثم ص '(ر) = & lt dx / dt، dy / dt، dz / dt & gt يعطي اتجاه الحركة.

نظرًا لأن هذا جسيم يبحث عن الحرارة ، يجب أن يتحرك في جميع الأوقات في اتجاه أقصى زيادة في درجة الحرارة. يجب أن يكون هذا هو اتجاه التدرج اللوني لدالة درجة الحرارة T (x ، y ، z).

غراد T (س ، ص ، ض) = & lt -3، -1، -2z & GT

بشكل عام يجب أن يكون الأمر كذلك غراد ت = ك ص '(ر) حيث k ثابت بعض الشيء. لنفترض تحديد معلمات المسار بحيث يكون k = 1 بحيث غراد ت = ص '(ر). لاحظ أننا لا ندعي ذلك ص '(ر) يعطي سرعة الجسيم الساعي للحرارة ، إلا أنه يعطي الاتجاه.

من عند غراد ت = ص '(ر) نحن نساوي مكونات المتجه للحصول عليها

dx / dt = -3 ، dy / dt = -1 ، و dz / dt = -2z.

دع 0 تكون قيمة t عند نقطة البداية بحيث

لدينا ثلاث معادلات تفاضلية لحلها وحلولها

ستنتج x = -3t + 2 و y = -t + 2 و z = 5e -2t.

هكذا ص (ر) = & lt -3t + 2 ، -t + 2 ، 5e -2t & GT

الحرارة البحث عن مشكلة الجسيمات للتدرب عليها

ابحث عن المسار الذي يتبعه جسيم يبحث عن الحرارة على صفيحة يتم تحديد توزيع درجة حرارتها بواسطة T (x ، y) بدءًا من نقطة معينة (معطيات حالتان).

بيلي جونسون هيت يبحث عن مشكلة الجسيمات

اقترح بيلي جونسون فكرة هذه المشكلة. تحتوي وظيفة توزيع درجة الحرارة الواردة أدناه على العديد من النقاط الساخنة والباردة النسبية. إن العثور على المسار الذي يتبعه جسيم (أو جسم) يبحث عن الحرارة يبدأ عند نقطة معينة مطلوبًا باستخدام التدرج اللوني بشكل متكرر لتقريب اتجاه الحركة. تُظهر ورقة عمل Maple المرتبطة العديد من الاحتمالات وكيف يمكن لـ Maple تقريب المسارات.

القسم 13.6 # 76 هذه مشكلة تقنية - راجع ورقة عمل Maple هذه

انقر هنا لمشاهدة ورقة عمل Maple التي تصور متزلجًا يسير في أقصى درجات الانحدار أسفل الجبل. ها هي ورقة عمل Maple Twin Peaks الخاصة بي.

يحتوي هذا الموقع على روابط لمواقع إنترنت أخرى. هذه الروابط ليست مصادقات على أي منتجات أو خدمات في مثل هذه المواقع ، ولا توجد معلومات


12.6: المشتقات الاتجاهية - الرياضيات

الكتاب المدرسي: ستيوارت ، حساب التفاضل والتكامل - التجاوزات المبكرة ، الطبعة الرابعة ، بروكس / كول

3. الخطوط العريضة لدورة الرياضيات 2630

12.3 و 12.4 و 12.5 مراجعة الجبر المتجه والخطوط والمستويات -------------- 2

12.7 الإحداثيات الأسطوانية والكروية (مع مراجعة القسم 10.4 ،

13.1 وظائف المتجهات ومنحنيات الفضاء (مع مراجعة الأقسام 10.1 / 2 ،

13.2 مشتقات وتكامل دوال المتجهات ------------------------ 1

13.3 طول القوس والانحناء (مع مراجعة القسم 8.1) ---------------- 2

13.4 الحركة في الفضاء: السرعة والتسارع --------------------------- 1

14.4 المستويات المماسية والتقديرات الخطية ----------------------------- 2

14.6 المشتقات الاتجاهية ومتجه التدرج ---------------------- 2

15.3 التكاملات المزدوجة على المناطق العامة -------------------------------- 2

15.4 التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية -------------------------------- 2

15.9 تغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة ---------------------------- 3

16.2 تكاملات الخط (مع مراجعة القسم 6.4 ، العمل) -------------------- 2

16.3 النظرية الأساسية لتكاملات الخط --------------------------- 2

16.6 الأسطح البارامترية ومناطقها ---------------------------------- 2

تعليق. الموضوعات في المنهج ، بما في ذلك الفصل 16 بأكمله (باستثناء

لنظرية الاختلاف) ، بموجب متطلبات مفصلية الدولة.

ومع ذلك ، من الواضح أنه لا يوجد وقت كافٍ لإجراء علاج شامل لـ

نظريات متكاملة في حساب التفاضل والتكامل. الطلاب الذين يحتاجون إلى خلفية قوية في


قسم الرياضيات والإحصاء32 ريضحساب التفاضل والتكامل الثالثربيع 2019القسم 01 والقسم 07

وصف الكتالوج:دوال أكثر من متغير واحد ، مشتقات جزئية ، تكاملات متعددة وحساب متجه. الطرق الرسومية والجبرية والرقمية لحل المسائل. منطقة GE B4.

المتطلبات المسبقة: درجة AP Calculus BC من 3 إلى 5 ، MATH 031 (بدرجة C- أو أفضل).

المتطلبات الأساسية: MATH 032W لإلغاء الاشتراك في MATH 032W ، اتصل بمكتب قسم الرياضيات.

الكتاب المدرسي المطلوب: حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة ، بقلم جيمس ستيوارت ، Cengage Learning ، 8. Ed. ، 2016. ملاحظة: الإصدارات 5-7 جيدة أيضًا ، ولكن تأكد من أنها تقول "حساب التفاضل والتكامل: المتساميون المبكرة."

مرجع اختياري: دليل حلول الطلاب لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات: التجاوزات المبكرة ، بقلم دان كليج وباربرا فرانك ، طومسون / بروكس / كول.

مكونات الصف:

إذا أدى ذلك إلى الحصول على درجة نهائية أعلى بالنسبة لك ، فسيكون وزن النصف الأول و / أو الثاني تلقائيا انتقلت إلى الامتحان النهائي. على سبيل المثال ، إذا كان أداؤك ضعيفًا في النصف الأول من الفصل الدراسي وكان أداؤه جيدًا جدًا في النصف الثاني من الفصل الدراسي ، فيمكن حساب درجتك النهائية باستخدام الترجيح: 3٪ ساحة + 17٪ واجب منزلي + 0٪ منتصف الفصل الأول + 20٪ منتصف الفصل الثاني + 60٪ إمتحان نهائي. سوف يتم ذلك تلقائيا لأعطيك أعلى درجة ممكنة من الحروف.


تحديد الدرجة النهائية للرسالة:

سيتم حجز الأجزاء العلوية / السفلية من هذه النطاقات للدرجات +/.

المشاركة في ساحة:

  • سيحصل الطلاب على رصيد للمشاركة في مناقشة حول محتوى الدورة التدريبية باستخدام Piazza. يتضمن ذلك طرح الأسئلة والإجابة (بشكل صحيح) على أسئلة زملاء الدراسة.
  • سيحصل الطلاب العشرة الأوائل الذين يقدمون باستمرار إجابات عالية الجودة لأسئلة زملائهم في الفصل على مكافأة بنسبة 1٪ على درجتهم النهائية.
  • سيقوم المدرب و TA أيضًا بمراقبة Piazza للإجابة على الأسئلة.
  • يجب طرح جميع الأسئلة الرياضية حول محتوى الدورة التدريبية في Piazza (أو في ساعات العمل).
  • يجب إرسال الأسئلة الإدارية فقط عبر البريد الإلكتروني.
  • رابط الاشتراك في دورة Piazza: https://piazza.com/sjsu/spring2019/math32

واجب WebAssign المنزلي:

  • سيتم تقديم واجبات منزلية أسبوعية عبر الإنترنت من خلال WebAssign.
  • هناك رسوم تسجيل ، ولكن الوصول مجاني لأول أسبوعين من بداية الفصل الدراسي.
  • التسجيل / تسجيل الدخول: https://webassign.net/login.html
  • مفتاح الفصل:
    القسم 01 (16:30 - 17:45): سجسو 2751 4303
    القسم 07 (13:30 - 14:45): sjsu 0905 8881
  • دليل البدء السريع: http://www.webassign.net/manual/WA_Student_Quick_Start.pdf
  • الدعم الفني: https://webassign.com/support/student-support/
  • ستكون التعيينات بشكل عام مستحقة في أيام الجمعة الساعة 11:59 مساءً . قم بتسجيل الدخول إلى WebAssign لمعرفة تواريخ الاستحقاق.
  • أول واجب واجب الجمعة 8 فبراير الساعة 11:59 مساءً.
  • سيتم تلقائيًا إسقاط أقل درجتين من درجات الواجب عند حساب درجتك النهائية. لهذا السبب ، لن يُسمح بشكل عام بأي امتدادات للمهام.
  • انظر الجدول أدناه للتواريخ والأوقات والمحتوى.
  • يجب عليك أداء الامتحان النهائي في القسم الذي سجلت فيه.
  • لا يُسمح بأي ملاحظات أو كتب مدرسية أو آلات حاسبة أو هواتف أو أجهزة إلكترونية أخرى. سيؤدي استخدام أي من هذه إلى الحصول على درجة صفر. لا يمكن استبدال هذه الدرجة الصفرية في منتصف الفصل بدرجات الاختبار النهائي.
  • ورقة الصيغة (متوفرة مع جميع الاختبارات)
  • sp19 math32 sec01 midterm1 solutions.pdf

الامتحانات والأدلة الدراسية السابقة:

ملاحظة 1: لدى البعض حلول ، ولكن ليس كلها.

ملاحظة 2: نظرًا للاختلافات في الجداول الزمنية ، لا تتوافق موضوعات الاختبارات السابقة وأدلة الدراسة تمامًا مع موضوعات امتحانات هذا الفصل الدراسي ، لكنني حاولت الإشارة إلى الموضوعات التي يغطيها الاختبار في أسماء الملفات.

مزيد من الممارسة:

  • WebAssign مشاكل الواجبات المنزلية. (يمكنك إعادة القيام بها).
  • ميزة خطة الدراسة الشخصية WebAssign (جرب هذا! إنه جيد جدًا!)
  • تمارين في الكتاب المدرسي. (الإجابات على الأسئلة ذات الأرقام الفردية موجودة في الخلف.)
  • أمثلة في الكتاب المدرسي وملاحظات المحاضرة (إخفاء الحل عند المحاولة.)

بروتوكول البريد الإلكتروني / ساحة / ساعات العمل:

  • يجب طرح جميع الأسئلة الرياضية حول محتوى الدورة التدريبية في ساحة Piazza أو في ساعات العمل.
  • يجب إرسال الأسئلة الإدارية فقط عبر البريد الإلكتروني.
  • لا ترسل رسائل عبر WebAssign. لن يتم مراقبة هذا البريد الوارد.
  • إذا كانت الإجابة على سؤال عبر البريد الإلكتروني موجودة على موقع الدورة التدريبية ، فلن أرد بشكل عام.
  • سأرد بشكل عام على رسائل البريد الإلكتروني في غضون يومي عمل.

بروتوكول الفصل الدراسي:

اتبع آداب الفطرة السليمة للحفاظ على فصل دراسي بنّاء وخالٍ من الاضطرابات. قم بإيقاف تشغيل جرس الهاتف الخلوي. يُسمح بأجهزة الكمبيوتر المحمولة لتدوين الملاحظات فقط. ارفع يدك لطرح الأسئلة. إذا كنت بحاجة إلى استخدام الحمام ، فلا تطلب الإذن ، فقط غادر وعد بهدوء. ابذل قصارى جهدك للوصول في الوقت المحدد. اترك المقاعد الخلفية مفتوحة لمن يصل متأخرًا. إذا كنت بحاجة إلى المغادرة مبكرًا ، اجلس بالقرب من الممر.

متطلبات عبء العمل والساعة المعتمدة:

يعتمد النجاح في هذه الدورة على توقع أن يقضي الطلاب ، لكل وحدة ائتمانية ، ما لا يقل عن 45 ساعة على طول الدورة (عادةً ثلاث ساعات لكل وحدة في الأسبوع) للتعليم أو الإعداد / الدراسة أو الدورة التدريبية ذات الصلة الأنشطة ، بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر التدريب الداخلي والمختبرات والممارسات السريرية. سيكون لهياكل الدورة التدريبية الأخرى توقعات عبء عمل مكافئة كما هو موضح في المنهج الدراسي.

النزاهة الأكاديمية:

يتضح التزامك ، كطالب ، بالتعلم من خلال تسجيلك في جامعة ولاية سان خوسيه. تتطلب منك سياسة النزاهة الأكاديمية بالجامعة F15-7 (http://www.sjsu.edu/senate/docs/F15-7.pdf) أن تكون صادقًا في جميع أعمال الدورة الأكاديمية الخاصة بك. يُطلب من أعضاء هيئة التدريس الإبلاغ عن جميع المخالفات إلى مكتب سلوك الطلاب والتنمية الأخلاقية. قم بزيارة موقع ويب سلوك الطلاب والتنمية الأخلاقية (http://www.sjsu.edu/studentconduct/) لمزيد من المعلومات.

الإعاقة:

إذا كنت بحاجة إلى تعديلات أو أماكن إقامة بسبب الإعاقة ، أو إذا كنت بحاجة إلى ترتيبات خاصة في حالة وجوب إخلاء المبنى ، فيرجى التسجيل في مركز التعليم الذي يمكن الوصول إليه (AEC) (http://www.sjsu.edu/aec/) . يسجل فورا ، حيث قد تحتاج AEC إلى وقت لاتخاذ الترتيبات. يتطلب التوجيه الرئاسي 97-03 أن يقوم الطلاب ذوي الإعاقة بالتسجيل في مركز التعليم لذوي الاحتياجات الخاصة لإنشاء سجل لإعاقتهم (http://www.sjsu.edu/aec/). قد ترغب أيضًا في إخطار مدرسك.

سياسات الجامعة الأخرى:

وفقًا لسياسة الجامعة S16-9 ، ستكون معلومات السياسة على مستوى الجامعة ذات الصلة بجميع الدورات ، مثل النزاهة الأكاديمية ، وأماكن الإقامة ، وما إلى ذلك متاحة على صفحة ويب معلومات منهاج برامج الدراسات العليا والجامعية على الموقع http://www.sjsu. edu / gup / syllabusinfo /. Be sure to review these policies and resources.

Getting a Permission Number to Add the Course:

  • Send me an email with s ubject line "Permission Number for Math 32"
  • State which section you want to add: Section 01 or Section 07
  • Attach your transcripts or something equivalent ( so that I can verify you meet the prerequisites )
  • Wait a few days for me to send you a permission number.

Schedule: This schedule may change slightly as the course progresses.


تذكير:
You must write the exams for the section you are registered in.

Lecture Notes: Lectures notes will usually be uploaded here less than a week after the lecture. Please do not email me about uploading the lectures notes.


MATH 2204 Course Page

INTRODUCTION TO MULTIVARIABLE CALCULUS
Calculus for functions for several variables. Planes and surfaces, continuity, differentiation, chain rule, extreme values, Lagrange multipliers, double and triple integrals and applications, software-based techniques. A student can earn credit for at most one of 2204 and 2406H. A student can earn credit for at most one of 2024 and 2204. A student can earn credit for at most one of 2204 and CMDA 2005.

Admission to MATH 2204 is offered to students who have passed MATH 1226.

Textbook:

Text: Calculus: Early Transcendentals by Stewart (9 th edition) with WebAssign access

Download the Complete Syllabus with Problem Assignments (PDF )

Syllabus: Topics & Chapters

Unit 1: Vectors, Surfaces and Functions of Several Variables

قسم موضوع
12.1 Three-Dimensional Coordinate Systems
12.2 Vectors
12.3 The Dot Product
12.4 The Cross Product
12.5 Equations of Lines and Planes
12.6 Cylinders and Quadric Surfaces
14.1 Functions of Several Variables
14.2 Limits and Continuity
14.3 Partial Derivatives
14.4 Tangent Planes and Linear Approximations

Unit 2: Double Integrals and Triple Integrals

قسم Topic
15.1 Double Integrals Over Rectangles
15.2 Double Integrals Over General Regions
15.3 Polar Coordinates
15.4 Applications of Double Integrals
15.6 Triple Integrals
15.7 Cylindrical Coordinates
15.8 Spherical Coordinates

Unit 3: Optimization and Vector Functions

قسم Topic
14.5 Chain Rule
14.6 Directional Derivatives and Gradients
14.7 Optimization
14.8 Lagrange Multipliers
13.1 Vector Functions and Space Curves
13.2 Derivatives and Integrals of Vector Functions
13.3 Arc Length and Curvature
13.4 Motion in Space

Final Exam

The final exam is a Common Time Exam.

The exam consists of two parts:

  1. Common Exam
    • This test is a multiple choice exam taken by all sections of MATH 2204. Samples of Common Time Final Exams given in previous years are available (koofers).
  2. Free Response Exam
    • Your instructor will give you information on what to expect for the second portion of the exam.

Note: Both portions of this exam will be administered virtually.

Check the timetable or your instructor's Canvas course site for the date and time of the common final exam.

Instructors & Sections

See the Timetable of classes for information on current offerings of MATH 2204

Honor System Information

The Undergraduate Honor Code pledge that each member of the university community agrees to abide by states:

“As a Hokie, I will conduct myself with honor and integrity at all times. I will not lie, cheat, or steal, nor will I accept the actions of those who do.”

Students enrolled in this course are responsible for abiding by the Honor Code. A student who has doubts about how the Honor Code applies to any assignment is responsible for obtaining specific guidance from the course instructor before submitting the assignment for evaluation. Ignorance of the rules does not excuse any member of the University community from the requirements and expectations of the Honor Code.


12.6: Directional Derivatives - Mathematics

Here are notes of each days' lecture from a Spring 2016 Math 281 class. Glaring errors will be removed, but mostly these will remain unedited.

Notes of Jan 27 - 12.1-.3: Distance formula, vectors, dot product

Notes of Feb 1 - 12.3: Dot product
Notes of Feb 3 - 12.3-.4: Projection, cross product

Notes of Feb 8 - 12.5: Lines and planes
Notes of Feb 10 - 12.5-.6: Planes, cylinders

Notes of Feb 17 - 12.6: Quadric surfaces, 13.1: Vector functions

Notes of Feb 22 - 13.2: Derivatives, integrals of vector functions
Notes of Feb 24 - 13.3: Arc length

Notes of Mar 2 - 13.3-.4: Curvature and acceleration

Notes of Mar 7 - 14.1: Functions of two variables, 14.2: Limits, 14.3: Partial derivatives
Notes of Mar 9 - 14.3: Partial derivatives, 14.4: Tangent planes and approximation

Notes of Mar 14 - 14.4: Tangent planes and approximation

Notes of Mar 28 - 14.5: Chain rules, implicit differentiation
Notes of Mar 30 - 14.6: Directional derivatives and gradient, 14.7: Max/min of functions of two variables

Notes of Apr 4 - 14.8: Lagrange multipliers
Notes of Apr 6 - 14.8: Lagrange multipliers, 15.1-.2: Double and iterated integrals

Notes of Apr 11 - 15.2-.3: Double integrals
Notes of Apr 13 - 15.3: Non-rectangular regions, 15.4: Double integrals in polar coordinates

Notes of Apr 18 - 15.4: Double integrals in polar coordinates

Notes of Apr 25 - 15.5: Mass and center of mass, 15.7: Triple integrals

Notes of Apr 27 - 15.8: Triple integrals in cylindrical coordinates, 15.9: Triple integrals in spherical coordinates (corrected)

Notes of May 2 - 15.10: Change of variables in double integrals

Notes of May 4 - 16.1: Vector fields, 16.2: Line integrals

Notes of May 9 - 16.5: Curl and divergence, 16.2: Line integrals

Notes of May 11 - 16.3: Fundamental theorem of line integrals, 16.4: Green's theorem


التفاضل المتعدد المتغيرات

An introduction to functions of several variables , partial differentiation, multiple
integrals, vector analysis, matrix algebra, determinants, solutions of linear systems
of equations , and vector spaces (optional).

Math 173-174 (Calculus with Analytic Geometry I-II) or equivalent .

The first part of this course is designed to introduce the student to the concepts of
functions of several variables, partial derivatives and multiple integrals , and vector
analysis. The remainder of this course is an introduction to linear algebra .

Textbook: Calculus, seventh edition, by Larson, Hostetler, and Edwards:
Houghton Mifflin Co. Boston.

Elementary Linear Algebra, fifth edition, by Larson, Edwards, and
Falvo: Houghton Mifflin Co. Boston.

Scientific Calculator : Required
Graphing Calculator : Preferred

Disability Services Policy:
Reasonable accommodations will be made for students with disabilities
provided those students have registered with the Office of Disability
Services. Present your teacher with the documentation.

Course Content:
Chapter 11 : Vector- Valued Functions
11.1 Vector-Valued Functions
11.2 Differentiaton and Intergration of Vector-Valued Functions
11.3 Velocity and Acceleration
11.4 Tangent Vectors and Normal Vectors
11.5 Arc Length and Curvature

Chapter 12 : Functions of Several Variables
12.5 Chain Rules for Functions of Several Variables
12.6 Directional Derivatives and Gradients
12.7 Tangent Planes and Normal Lines
12.8 Extrema of Functions of Two Variables
12.9 Applications of Extrema of Functions of Two Variables
12.10 Lagrange Multipliers

Chapter 13 : Multiple Integration
13.1 Iterated Integrals and Area in the Plane
13.2 Double Integrals and Volume
13.3 Change of Variables : Polar Coordinates
13.5 Surface Area
13.6 Triple Integrals and Applications
13.7 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

Chapter 14 : Vector Analysis
14.1 Vector Fields
14.2 Line Integrals
14.3 Conservative Vector Fields and Independence of Path
14.4 Green’s Theorem
14.6 Surface Integrals
14.7 Divergence Theorem
14.8 Stokes’ Theorem

Course Content : Linear Algebra

Chapter 1 : Systems of Linear Equations
1.2 Gaussian Elimination and Gauss -Jordan Elimination
1.3 Applications of Systems of Linear Equations

Chapter 2: Matrices
2.1 Operations with Matrices
2.2 Properties of Matrix Operations
2.3 The Inverse of a Matrix
2.5 Applications of Matrix Operations

Chapter 3: Determinants
3.1 The Determinant of a Matrix
3.2 Evaluation of a Determinant Using Elementary Operations
3.3 Properties of Determinants
3.4 Introduction to Eigenvalues
3.5 Applications of Determinants

Chapter 4: Vector Spaces
4.1 Vectors in R n
4.2 Vector Spaces
4.3 Subspaces of Vector Spaces
4.4 Spanning Sets and Linear Independence
4.5 Basis and Dimension

Assignments and Test Schedule
For Calculus by Larson, Hostetler, & Edwards


MA 1022 Integral Calculus

1. Antiderivatives (5.2) 2. The definite integral (5.3-5.4) 3. Fundamental theorem of calculus, properties of the definite integral, substitution (5.5-5.7) 4. Areas of plane regions, numerical integration (5.8-5.9) 5. Modelling with Riemann sums (6.1) 6. Volumes (including the "washer method") (6.2) 7. Arc length, Centroids (6.4 and 6.6) 8. The natural logarithm, inverse trig functions (6.7-6.8) 9. Basic techniques of integration: substitution, integration by parts, trigonometric integrals (7.2-7.4) 10. Additional techniques of integration: partial fractions (7.5) 11. Exponential growth and decay (8.1)

ملاحظات

  • About 10 classes for Chapter 5, 7 classes for Chapter 6, 7 classes for Chapter 7, and one class for Chapter 8.
  • Some faculty may choose to cover sections in an order different from that suggested by the text.
  • The following sections are optional: 6.3, 6.5, 6.9, 7.6, and 7.7. The instructor should cover at least one of the optional sections.

12.6: Directional Derivatives - Mathematics

9.1 - 3D Coordinate Systems

At-home Activity: Introduction to Mathematica

At-home Activity: Mathematica and Vectors

At-home Activity: Types of functions

EWA Practice with Matrix Operations due tonight

Activity: Parametric matching

9.5 - Equations of Lines and Planes

9.6 - Functions and Surfaces

9.7 - Cylindrical and Spherical Coordinates

10.1 - Vector Functions and Space Curves

10.2 - Derivatives and Integrals of Vector Functions

11.1 - Functions of Several Variables

11.2 - Limits and Continuity

11.2 - Limits and Continuity continued

Activity - What is the Derivative of This Thing?

11.4 - Tangent Planes and Linear Approximation

Activity - Composition of Functions

11.6 - Directional Derivatives and the Gradient Vector

Project: Gradient Graphically

11.6 - Directional Derivatives and the Gradient Vector continued

11.7 - Maximum and Minimum Values

11.7 - Maximum and Minimum Values continued

11.8 - Lagrange Multipliers

12.1 - Double Integrals over Rectangles

12.3 - Double Integrals over General Regions continued

12.4 - Double Integrals in Polar Coordinates

12.4 - Double Integrals in Polar Coordinates continued

12.5 - Applications of Double Integrals

12.7 - Triple Integrals continued

12.8 - Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

Project: Introduction to Surface Integrals

12.8 - Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates continued


12.6: Directional Derivatives - Mathematics

11.2 Vectors in Three Dimensions

11.5 Lines and Curves in Space

11.6 Calculus of Vector-Valued Functions

11.9 Curvature and Normal Vectors

12.2 Graphs and Level Curves

12.3 Limits and Continuity

12.6 Directional Derivatives and the Gradient

12.7 Tangent Planes and Linear Approximation

12.8 Maximum/Minimum Problems

13.1 Double Integrals over Rectangular Regions

13.2 Double Integrals over General Regions

13.3 Double Integrals in Polar Coordinates

13.5 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

13.6 Integrals for Mass Calculations

13.7 Change of Variables in Multiple Integrals

14.3 Conservative Vector Fields

Each successful presentation at the class board is worth 1%

Each correctly solved problem is valued as 1%

Percentage Earned (PE) > 100%

Only planes and lines will be covered from 11.5 ad 12.1

1/20 Martin Luther King Jr. Holiday Observed - University Closed

Test 1 (covers chapter 11) Thursday 2/13

Test 2 (covers chapter 12) Thursday 3/20

Course Withdrawal Deadline: April 6

Test 3 (covers 13.1-14.4) Thursday 4/24

Last day of class: May 2nd

The (common) final exam will be Tuesday, May 6 th , from 7:10 - 9:00. PM . Locations will be announced once set (this information is expected in April). The final exam is NOT given in the math testing center, or in the regular classroom. The final exam will be comprehensive .

Homework & Quizzes: The class uses the online homework system MyLab & Mastering , the math part of which is also known as MyMathLab. The system used to be called CourseCompass.

G o to http://pearsonmylabandmastering.com/ and use the course ID nikitin76684 to sign up for the online portion of the course. If you do not have a MyLab account, you will need to register first.

DO NOT create a second login if you already have one. That, in combination with a weak memory and multiple email addresses, can lead to intractable problems where students signed up and later find that the system “forgot” their MAT 272 class somehow. If you allow this to happen to you, I will not be able to fix the problem for you, and you will have to straighten out the mess with Pearson’s support.

Student access codes can be purchased online, or from the ASU bookstore as part of the MyMathLab Standalone Student Access Kit. It is recommended but not required that you buy a hardcopy of the textbook. The MyMathLab subscription includes access to the textbook in electronic form.

You should enroll in MML on the first day of class . The online homework is an integral component of the course and needs to be worked on regularly, starting with the first week. When you log in, you will see when online homework assignments are due. You are expected to work the MML assignments on a continuous basis and to be aware of due dates. There will be no time extensions, but you can finish problems late, with a penalty of 2% per day.

The class does not use the “study plan” feature of MML.

If you do not have the money to sign up for MML due to financial aid being delayed, sign up for MML with temporary student access. Using that option, you can use the course for up to 17 days while waiting on financial aid. You can find instructions on how to do this at

Do not think that you can just not do MML for the first few weeks and catch up later. This will almost guarantee failure in the class.

IMPORTANT : if you made an account using temporary access, you must upgrade it to full account once you have the ability to pay. UNDER NO CIRUMSTANCE must you create a new account because that new account won’t have any of your previous work saved. You may receive academic warnings and incorrect grades as a result, and your instructor will not be responsible for the consequences. It is your responsibility to create and maintain ONE and ONLY ONE presence in the online portion of the class.

Murphy’s Law of online homework systems: the online homework system always goes down on the evening of a due date. You should start working on homework assignments on the day the material was covered in class, and finish well before the due date.

Your homework grade will be a combination of on-line (MyMathLab) and written (Recitation) homework. Both kinds of homework assignments are mandatory and failure to do them is likely to result in a failing grade in the class.

Quizzes are meant to encourage regular study as well as consistent attendance and are given at your instructor’s discretion.


Attendance: Attendance in both the class and the recitation is mandatory. Your instructor and recitation TA will keep regular attendance. The maximum number of permissible absences from class and recitation combined for a MWF section is eight (8) and for a TTh section is six (6). Students who exceed the number of allowed absences will receive a grade of EN – failure due to non-attendance. You will not be automatically dropped from the class if you stop coming to class.

Academic Status Report: there are two times during the semester when you will be issued an academic status report from your instructor if your class grade is failing at that time. If you receive such a status report, you must act on it. In particular, if the status report says that you are to meet with your instructor in person, come to office hours within one week of receiving the report .

Status reports are not a real-time running tally of your grades in the class, nor are they updated to reflect grades earned after the report has been issued.

Exams: three midterm exams will be given during the semester, in the ASU mathematics testing center PSA 21 (basement). In order to be admitted to the Testing Center, you must have a valid ASU "Sun Card" or other picture ID.

Testing center opening hours and rules can be found at http://math.asu.edu/TestingCenter .

The midterm and final exams test procedural skill as well as conceptual understanding.

If there is class on a testing day, class still meets at the usual time. You cannot skip class to take the test.

Missed Test Policy: If you miss a test for no good reason, meaning not because of a university-sanctioned activity or due to a documented emergency that occurred through no fault of your own, you are not entitled to a makeup, or a makeup of the same format or content, and if you receive a makeup, 5% will be subtracted from your percentage grade for that test.

There are no test retakes or corrections, and no lowest test will be dropped. Your instructor will give you extra credit assignments to erase the consequences of a bad test.

While diligent, timely completion of homework assignments is necessary to master procedural skills, this alone is usually insufficient to gain conceptual understanding. That is especially true if you habitually abuse the help function. The more you complete problems by pressing “Help Me Solve This” and then just imitating steps you do not understand, the more you are cheating yourself. The exams will not have a help function- nor will mathematical problems you encounter in your professional life.

To master the concepts, you should

- review and study your class notes and/or the textbook thoroughly with the goal to understand the connections between the concepts.

- create your own lists (or perhaps 3x5 cards) of definitions and theorems and commit them to memory like you would do with vocabulary in a foreign language.

- use the help function of the online homework extremely sparingly, and only after having tried your best to apply the theory you have learned to solve the problem.

- take recitations seriously and complete all recitation homework assignments.

You must do all this continuously throughout the semester. You must have learned the definitions and theorems covered in each class session and started the corresponding section of the online homework by the time of the next class session. Failure to know the material covered in lectures will result in your inability to follow subsequent lectures, and the difference between where you are in your understanding and where you should be will be compounded with each lecture.

Relying on “just in time” cramming for exams is an ineffective study technique and will virtually guarantee failure in the class.

The ASU Math Community Center in PSA 303 is an excellent place to get help for the class. Hours can be found at http://math.asu.edu/MC2 .

ASU Learning Resource Center (LRC) : The LRC, http://asu.edu/lrc provides counseling, tutoring in math (and many other subjects), supplemental instruction, and other types of support to students. LRC resources are available in many residence halls and in the Memorial Union, Room 14. See the LRC web page for further information. The grade of Incomplete: ASU policy SSM 203-09 will be strictly followed. The grade of incomplete will be awarded only in the event that a documented emergency or illness prevents a student who is doing passing work from completing a small percentage of the course requirements.

Instructor-Initiated Drop: At the instructor's discretion, any student who was registered on the first day of class but has not attended class during the first week may be administratively dropped from the course. Non-attendance after the first week will NOT automatically result in your being dropped from the course. It is your responsibility to be aware of your registration status.

Final Exam Make-up Policy: The final exam schedule listed in the Schedule of Classes will be strictly followed. Exceptions to the schedule and requests for make-up examinations can be granted only by the Department Chair, Associate Department Chair or the Director of First Year Mathematics, and for one of the following reasons:

the student has more than three exams scheduled on the same day

there is a time conflict between two final exams.

Classroom behavior, etiquette and academic integrity policies

Athletes with travel schedules should meet with me by the end of the first week of classes to discuss any necessary arrangements that need to be made.

If you have a disability that requires special accommodations, it is your responsibility to bring this to your instructor’s attention during the first week of class. You must also contact the ASU Disability Resource Center http://www.asu.edu/studentaffairs/ed/drc/ .

Arrangements for any religious observances or ASU sanctioned activity must be arranged with the instructor at least one week prior to the event.

Classroom disturbances, including but not limited to: arriving late, talking in class, using cellular devices, texting, listening to music, eating and drinking are not tolerated. Each student is expected to show respect for every student registered in the course. Turn off any cellular phones, pagers, laptops, tablets and other electronic devices and put them out of sight prior to entering class. The usage of laptops is prohibited in the classroom. Notes should be taken with pen/pencil on paper. If you wish to use an electronic device for note taking, talk to your instructor.

An instructor may withdraw a student from a course when the student's behavior disrupts the educational process under USI 201-10

Students are required to adhere to the ABOR Student Code of Conduct:

Academic Integrity: Academic honesty is expected of all students in all examinations, papers, laboratory work, academic transactions and records. The possible sanctions include, but are not limited to, appropriate grade penalties, course failure (indicated on the transcript as a grade of E), course failure due to academic dishonesty (indicated on the transcript as a grade of XE), loss of registration privileges, disqualification and dismissal. For more information, see http://provost.asu.edu/academicintegrity.

The grade of XE: A grade of XE is reserved for "failure due to academic dishonesty." The grade goes on the student's transcript and usually remains there permanently. Examples of academic dishonesty are signing an attendance sheet for another student or asking another student to sign an attendance sheet on your behalf, accessing unauthorized help while taking an exam, and attempting to influence a grade for reasons unrelated to academic achievement. Asking for a higher grade than the one you have earned because you need a higher grade to maintain a scholarship, or to satisfy your own or someone else’s expectations, constitutes academic dishonesty.


شاهد الفيديو: شرح المشتقات الاتجاهيةDirectional Derivatives (ديسمبر 2021).